Az átlagszámítás, az átlagok a mindennapi életünk részei (pl. átlaghőmérséklet, átlagbér, átlagos infláció, egy befektetés több évre vonatkozó átlaghozama stb.). Leggyakrabban az egyszerű számtani átlaggal találkozunk, de a mértani átlag sem ritka, amit összeszorozható mennyiségek átlagolására használnak (infláció, hozamok, amortizáció stb.). Van még egy átlag, a harmonikus átlag, amit ugyan mindenki tanult középiskolában, de nem olyan gyakori a hétköznapokban, ezért talán nem is nagyon emlékszünk rá, különösen, hogy a képlete, amit az alább ábrán láthatunk, bonyolultabb, mint a számtani vagy mértani átlagé.
Az egyszerű vagy súlyozott harmonikus átlag képlete nem önkényes matematikai definíció, hanem bizonyos típusú feladatok megoldásaként adódik ki. Ha megértjük e problématípusokat, akkor a harmonikus átlag, illetve annak kiszámítási képlete sokkal barátságosabbá válhat. Ehhez a következőkben három egyszerű feladatot ismertetünk, amelyek közül az első az egyszerű harmonikus átlagra példa, a második a súlyozott harmonikus átlagot demonstrálja. A harmadik pedig egy olyan feladat, amelynek megoldása nem közvetlenül a harmonikus átlag, de majdnem, és kis átalakítással a harmonikus átlag képlete felhasználható.
Az első példa pénzügyi befektetésről szól. Tegyük fel, hogy egy adott évben minden hónapban azonos összeget takarítunk meg, ami mondjuk legyen 100 000 Ft, és ezért az összegért részvényt vásárolunk az adott a hónapban a vásárlás időpontjában aktuális piaci árfolyamon. A részvények vételárai az egyes hónapokban forintban a következők: 200, 800, 500, 600, 500, 300, 100, 900, 700, 200, 700, 400. A kérdés, hogy mennyi volt az átlagos vételár az év egészét tekintve?
A megoldáshoz az a felismerés vezet, hogy az év végén az összes vásárolt részvény mennyisége megegyezik a havonta vásárolt mennyiségek összegével. A képletekkel is kifejezett megoldás ez:
A súlyozott harmonikus átlag alkalmazásának szemléltetésére vegyünk egy utazási példát. El szeretnénk jutni egyik városból egy másikba autóval. Tudjuk, hogy a kiindulási helyről a városhatárig 7 km-t kell menni. A másik városban az érkezési pont a városhatártól 3 km-re van. A két város közötti utat végig autópályát tesszük meg. Természetesen be kívánjuk tartani a sebességkorlátozásokra vonatkozó szabályokat. Tudjuk, hogy városokon belül max 50 km/h-val mehetünk, autópályán pedig max. 130 km/h-val. De ezek maximumok, a valóságban szabályosan állandóan nem mehetünk soha ennyivel, mert néha lassítani kell, sőt városon belül olykor, pl. lámpák tilos jelzésénél, meg is kell állni valamennyi időre. Ezért úgy becsüljük, hogy a kiinduló helyről a városhatárig átlag 30 km/h-val, a célvárosban pedig 25 km/h-val tudunk haladni reálisan. Az autópályán, ahol forgalmi okból néha lassítani kell, úgy gondoljuk, hogy tudunk 100 km/h átlagot tartani. Kérdés, hogy a teljes utat tekintve mennyi lesz az átlagsebességünk?
A megoldás alapelve, hogy a teljes utat átlagsebességgel megtéve a teljes utazási idő egyenlő az egyes szakaszok megtételéhez szükséges idők összegével. A képletekkel is kifejezett megoldás ebben az esetben ez:
A harmonikus átlagot akkor is alkalmazhatjuk, ha az nem közvetlenül adja a feladat megoldását. Ilyen eset például az, amikor egy elektronikus áramkörben levő párhuzamosan kapcsolt ellenállásokkal ekvivalens eredő ellenállás értékét akarjuk kiszámolni. A megoldáshoz az Ohm törvény alapján csak azt kell képletben kifejezni, hogy az egyes párhuzamos ágakban folyó áramok összege megegyezik az eredő ellenálláson átfolyó árammal. Ezt láthatjuk alább.
Az eredő ellenállásra kapott összefüggés nagyon hasonlít a harmonikus átlag képletéhez, konkrétan annak n-ed része, ahol n a párhuzamosan kapcsolt ellenállások száma. Így tehát, kis átalakítással behozhatjuk a harmonikus átlag képletét. Tehát párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője az egyes ellenállásértékek harmonikus átlaga osztva az ellenállások számával.
Ez utóbbi példánál felmerülhet, hogy miért nem számoljuk ki az eredő ellenállást közvetlenül az elsőként adódó képlet alapján, miért alakítottuk át, hogy a harmonikus átlag szerepeljen benne? A válasz: mert így egyszerűbben tudunk eljárni, ha Python programmal akarjuk kiszámítani. Ugyanis a szabványos könyvtár statistics modulja tartalmazza nem csak a számtani és mértani átlag, hanem a (súlyozott) harmonikus átlag kiszámítására szolgáló harmonic_mean nevű függvényt is, aminek első argumentuma az átlagolandó értékeket szolgáltató iterálható objektum, a második, opcionális argumentum pedig a súlyokat kiadó iterálható objektum. E függvényt használva a fenti három alkalmazási példa esetében a számítások a következők:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 |
from statistics import harmonic_mean # 1) Éves átlagos vételár számítása azonos összegű havi befektetések esetén. # Részvény vételárak a havi befektetésekkor. purchase_prices = [200, 800, 500, 600, 500, 300, 100, 900, 700, 200, 700, 400] # Az év egészét tekintve az átlagos vételár, ami a havi vételárak harmonikus átlaga. average_purchase_price = harmonic_mean(purchase_prices) print(f'{average_purchase_price:.1f}') # Eredmény: 326.8 # 2) Átlagsebesség számítás eltérő sebességű útszakaszok esetén. # Az egyes útszakaszok hossza, és az azokon elérhető becsült átlagsebességek. s1, s2, s3 = 7, 90, 3 v1, v2, v3 = 30, 100, 25 # A teljes útra vonatkozó átlagsebesség, ami # a részsebességek súlyozott harmonikus átlaga, ahol a súlyok a szakaszhosszak. average_speed = harmonic_mean((v1, v2, v3), (s1, s2, s3)) print(f'{average_speed:.1f} km/h') # Eredmény: 79.8 km/h # 3) Párhuzamos kapcsolású ellenállások eredő ellenálásának meghatározása. # Párhuzamos kapcsolású ellenállásértékek. parallel_resistances = 100, 1600, 2500 # Eredő ellenállás, ami a párhuzamos ellenállások harmonikus átlaga osztva # az ellenállások számával. equivalent_resistance = harmonic_mean(parallel_resistances)/len(parallel_resistances) print(f'{equivalent_resistance:.1f} Ω') # Eredmény: 90.7 Ω |
A statisztikai számításokhoz szükséges alapvető függvényeket és objektumokat, illetve ezek alkalmazásait a Python tudásépítés lépésről lépésre című e-könyvben a „Készétel fogyasztás – a szabványos könyvtár moduljainak használata” fejezet „Matematikai számítások támogatása” alfejezeten belül a „Statisztikai eszköztár” című rész ismerteti.